В работе мы рассматриваем обобщенные многообразия Кенмоцу, мы вводим четвер- тое и пятое фундаментальные тождества обобщенных многообразий Кенмоцу, вводятся первый и второй структурные тензоры обобщенных многообразий Кенмоцу и доказаны их свойства, вводится понятие присоединенной Q-алгебры для обобщенных многообразий Кенмоцу. Доказано, что обобщенное многообразие Кенмоцу, а также специальные обобщен- ные многообразия Кенмоцу II рода имеют антикоммутативную присоединенную Q-алгебру. А многообразия Кенмоцу и специальные обобщенные многообразия Кенмоцу I рода име- ют абелеву присоединенную Q-алгебру. Вводится контактный аналог постоянства типа и подробно исследуются обобщенные многообразия Кенмоцу постоянного типа. Получены условия точечного постоянства типа обобщенных многообразий Кенмоцу на пространстве присоединенной G-структуры. Доказано, что класс GK-многообразий нулевого постоянно- го типа совпадает с классом многообразий Кенмоцу, а класс GK-многообразий ненулевого постоянного типа конциркулярным преобразованием переводит-ся в почти контактное мет- рическое многообразие локально эквивалентное произведению шестимерного собственного NK-многообразия на вещественную прямую.
Чебышевский сборник
2019. — Выпуск 2 (70)
Содержание:
Данная работа посвящена вопросам оценки константы совместных диофантовых при- ближений для � действительных чисел. В работе развивается подход, заложенный Г. Дэ- венпортом и Дж. В. С. Касселсом. Г. Дэвенпорт обнаружил связь между значением кри- тического определителя звездного тела и оценкой некоторых форм. В частном случае это позволяет, вычислив критический определитель (�+1)-мерного звездного тела Дэвенпорта F� : |�0| max 1≤�≤� |��|� < 1, получить значение константы совместных диофантовых приближений. Однако, вычисле- ние критических определителей для тел такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения. Для этого он использовал оценку наибольшего значения ��,� – объ- ема параллелепипеда с центром в начале координат, находящегося внутри (�+1)-мерного звездного тела F�,� : ��,� = 1 2� Π︁� �=1 |�2 � + �2 �+�| Π︁� �=2�+1 |��| < 1. Эти результаты сводят задачу оценки константы совместных диофантовых прибли- жений к оценке объема наибольшего параллелепипеда ��,�. Ранее оценки для ��,� были получены в работах Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса. Данная работа посвя- щена методике формирования гипотез о значениях ��,� на основе результатов численных экспериментов. В статье изложен подход к получению параллелепипедов, содержащихся внутри звездного тела и обладающих наибольшим объемом. Этот подход сочетает в себе использование как численных, так и аналитических методов.
Ключевые слова
В статье получена верхняя и нижняя оценка для числа целочисленных многочленов, которые имеют только два близких корня и малый дискриминант в терминах Евклидовой метрики.
Ключевые слова
В статье рассматривается проблема получения оценок числа минимальных целочис- ленных полиномов �(�) степени � и высоты не более � таких, что производная полинома в одном из его корней � ограничена, |�′(�)| < �1−� для некоторого � > 0. Данная проблема естественным образом возникает во многих задачах метрической тео- рии чисел, связанных с получением эффективных оценок меры точек, в которых целочис- ленные полиномы из некоторого класса принимают малые значения. Например, в работе Р. Бейкера 1976 года подобный результат использовался для оценки сверху размерности Хаусдорфа в проблеме Бейкера-Шмидта. (︀ Доказано, что число полиномов �(�), определенных выше, с корнями � на интервале −1 2 ; 1 2 )︀ не превосходит �1(�)��+1−3 5 � при � > �0(�) и 1.5 6 � 6 1 2 (� + 1). Результат основан на усиленной версии леммы из монографии А.О. Гельфонда "Трансцендентные и алгебраические числа"о выделении малого делителя целочисленного полинома.
Ключевые слова
Вопросы, связанные с исследованием рядов Дирихле �(�) = Σ︁+∞ �=1 ���−� и их сумматорных функций Φ(�) = Σ︁ �≤� �� формируют один из центральных разделов классической теории чисел. При определенных условиях на ряд �(�) = Σ︁+∞ �=1 ���−� функция Φ(�) может быть выражена через функцию �(�), которую в этом случае назы- вают производящей функцией для коэффициентов ряда Дирихле. Эта связь выражается известной формулой Перрона Σ︁ �≤� �� = 1 2�� ∫︁ �0+�∞ �0−�∞ �(�) �� � ��, �0 > �0, где ряд ∞Σ︁ �=1 ���−� для �(�) абсолютно сходится при � > �0. Точнее, классическая схема исследования сум- маторной функции Φ(�) = Σ︁ �≤� �� коэффициентов ряда Дирихле �(�) = ∞Σ︁ �=1 ���−� опирается на формулу, при определенных условиях выражающую функцию Φ(�) через интеграл 1 2�� ∫︁ �+�� �−�� �(�)�� � ��. В 1972 г. А. А. Карацуба получил ”интегральную“ формулу такого рода, которая свя- зывает ∫︁ � 1 Φ(�)�� с интегралом 1 2�� ∫︁ �+�� �−�� �(�)��+1 �(� + 1) ��, что позволяет получить новые результаты при исследовании соответствующих теоретико- числовых вопросов. В данной статье представлена новая формула, выражающая сумматорную функцию Φ(�) = Σ︁ �≤� �� ряда Дирихле �(�) = Σ︁+∞ �=1 ���−� через �(�), родственная формуле Перрона и интегральной формуле А. А. Карацубы. Имен- но, доказано следующее утверждение. Пусть ряд �(�) = Σ︁+∞ �=1 ���−� абсолютно сходится при Re � > 1, �� = �(��), где � > 0 – произвольно малое дей- ствительное число, и при � → 1+ имеет место оценка ∞Σ︁ �=1 |��|�−� = �((� − 1)−�), � > 0. Тогда при любых � ≥ �0 > 1, � ≥ 1, � = � + 0, 5, � > � имеет место формула Φ(�) = Σ︁ �≤� �� = 1 2�� ∫︁ �+�� �−�� �(�) ��� �(� − �) ��+ +� (︂ ��� �2(� − 1)� )︂ + � (︂ �1+�� log � �2 )︂ + � (︁ ���� log � �+0,5 (︁ 1 + � � )︁)︁ . Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция Римана, при Re � > 1 определяемая равенством �(�) = Σ︁+∞ �=1 �−�. Возведение дзета-функции Римана в �-ю степень при Re � > 1 даст нам ряд Дирихле ��(�) = Σ︁+∞ �=1 ��(�)�−�, где ��(�) – число натуральных решений уравнения �1 · ... · �� = �. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда ��(�) = Σ︁ �≤� ��(�) есть число точек с натуральными координатами под гиперболической поверхностью �1·...·�� = �. Задачу об асимптотической оценке суммы ��(�) принято называть проблемой делителей Дирихле. В данной статье мы доказываем две теоремы, дающие новые асимптотические формулы для функций Σ︁ �≤� ��1 (�) · ... · ��� (�) и Σ︁ �≤� ��(�2), родственных функции ��(�). Σ︁ �≤� ��1 (�) · ... · ��� (�) = ���(log �) + ��1− 1 13�−2/3 (� log �)�, где � ≥ 1, �1, ..., �� ≥ 2, � = �1 · ... ·��, �� – многочлен степени �−1, � – комплексное число, |�| ≤ 1, � ≪ log 5 6 �, � > 0 – абсолютная постоянная. Σ︁ �≤� ��(�2) = ���(log �) + ��1− 1 13�−2/3 (� log �)�, где � ≥ 2, � = �(�+1) 2 , �� – многочлен степени �−1, � – комплексное число, |�| ≤ 1, � ≪ log 5 6 �, � > 0 – абсолютная постоянная. Другим хорошо известным примером рядов Дирихле являются �-функции Дирихле, при Re � > 1 определяемые равенством �(�, �) = ∞Σ︁ �=1 �(�)�−�, где � – характер Дирихле по некоторому модулю �. Произведение нескольких �-функций Дирихле дает при Re � > 1 ряд �1(�, �1) · ... · ��(�, ��) = ∞Σ︁ �=1 ���−�, сумматрная функция коэффициентов которого имеет вид ��(�) = Σ︁ �≤� �� = Σ︁ �1·...·��≤� �1(�1) · ... · ��(��). Задача об асимптотической оценке функции ��(�) является обобщением проблемы дели- телей Дирихле и связана с проблемой делителей в числовых полях, в частности, квадра- тичном и круговом. В данной статье получены новые асимптотические формулы для средних значений арифметических функций �� �1 (�) · ... · �� �� (�) и �� � (�2), родственных функции делителей ��(�), в квадратичном поле � = �( √ �), � – бесквадратное число, и �-круговом поле � = �(�), �� = 1, с константой � = 1 13 в показателе остаточного члена.
Ключевые слова
В результате многолетних исследований в гармоническом анализе Фурье был выделен класс линейных интегральных операторов Кальдерона–Зигмунда, ограниченных в про- странствах �� на R� с мерой Лебега при 1 < � < ∞. Б. Макенхаутом были найдены условия на вес, необходимые и достаточные для ограниченности операторов Кальдерона– Зигмунда в пространствах �� с одним весом. Они теперь известны как ��-условия Макен- хаута. Г.Х. Харди и Дж.И. Литлвудом (� = 1) и С.Л. Соболевым (� > 1) была доказана (��,��)-ограниченность потенциала Рисса �� при 1 < � < � < ∞, � = � (︁ 1 � − 1 � )︁ . Б. Ма- кенхаут и Р.Л. Виден нашли ��,�-условие на вес для одновесовой (��,��)-ограниченности потенциала Рисса. Важным обобщением потенциала Рисса стал потенциал Данкля–Рисса, определенный С. Тангавелу и Ю. Шу в евклидовом пространстве с мерой Данкля. Для потенциала Данкля–Рисса нами была доказана (��,��)-ограниченность с двумя ради- альными кусочно-степенными весами. В настоящей работе мы определяем �� и ��,�- условия Макенхаута для весов в R� с мерой Данкля и выясняем, когда они выполняются для кусочно-степенных весов. Полученные результаты показывают, что условия (��,��)- ограниченности потенциала Данкля–Рисса с одним кусочно-степенным весом могут быть охарактеризованы с помощью ��,�-условия. Это позволяет предположить, что условия (��,��)-ограниченности потенциала Данкля–Рисса с одним произвольным весом могут также быть записаны с помощью ��,�-условия.
Ключевые слова
Рассматривается следующая задача о поиске медианы набора строк: � = argmin �∈� Σ︁ �∈� �(�, �), где � ⊂ �* — конечный набор строк над алфавитом �, � ⊆ �*, � — редакционное расстоя- ние Левенштейна. Эта задача имеет важные приложения, например в биоинформатике при анализе белковых последовательностей. Однако известно, что в общем случае для � = �* задача о медиане является NP-сложной. Поэтому для приближенного решения были пред- ложены эвристические алгоритмы, в частности, жадный алгоритм. Мы предлагаем новый гибкий подход, базирующийся на гладкой аппроксимации расстояния Левенштейна ˜ �. В его основе лежит стохастическое кодирование символьных последовательностей и следующая формула для редакционного расстояния: �(�1,�2) = min (�′ 1,�′′ 2 )�⊆�1×�2 {︁1 2 ‖�′ 1 − �′′ 2 ‖1 + |�1| − |�′ 1 | + |�2| − |�′′ 2 | }︁ , где минимум берется по всем подпоследовательностям (�′ 1,�′′ 2 )� равной длины. С одной стороны, стохастическое кодирование расширяет класс, на котором ищется экстремум. Однако наш основной результат показывает, что медиана не меняется. С другой стороны, теперь мы можем воспользоваться гладкими методами оптимизации, если заменить ми- нимум в определении выше его гладким приближением. Мы приводим детали реализации на основе градиентного спуска, включая рекуррентные формулы расчета ˜ �. Эффектив- ный расчет приближенной медианы позволяет, например, применить метод �-средних для кластеризации строк. Мы даем способ визуализации этих кластеров на основе метода сто- хастического вложения соседей tSNE.
Ключевые слова
В работе изучаются геометрические характеристики метрических пространств, участ- вующие в формулах расстояний Громова–Хаусдорфа от этих пространств до так называе- мых симплексов, т.е. метрических пространств, в которых все ненулевые расстояния равны между собой. При вычислении этих расстояний важную роль играет геометрия разбиений этих пространств, приводящая, в случае конечных пространств, к аналогу длин ребер минимального остовного дерева. Ранее была разработана аналогичная теория для ком- пактных метрических пространств. Эти результаты обобщены на случай произвольного ограниченного пространства, упрощая при этом ряд доказательств, а также выписывая явные формулы
Ключевые слова
Понятие равномерного распределения целозначных арифметических функций в клас- сах вычетов по модудю � было введено И. Нивеном [3]. Для мультипликативных функций более удобным оказалось понятие слабо равномерного распределениия по модулю �, ко- торое было введено В. Наркевичем [6]. В работах о распределении в классах вычетов обычно приводятся асимптотические формулы для числа попаданий значений функции в тот или иной класс, содержащие лишь главные члены, что объясняется применением к производящим функциям тауберовой тео- ремы Х. Деланжа [12], хотя эти производящие функции обладают лучшими аналитиче- скими свойствами, чем это нужно для теоремы Х. Деланжа. В настоящей работе рассматривается распределение значений функции Жордана �2(�). Для натурального числа � значение �2(�) есть количество попарно несравнимых между собой примитивных по модулю � пар целых чисел. Доказывается, что �2(�) слабо равно- мерно распределена по модулю � тогда и только тогда, когда � взаимно просто с числом 6. Кроме того, работа содержит асимптотическую формулу, представляющую собой асимп- тотический ряд, что достигается применением леммы 3, являющеся теоремой тауберова типа, заменяющей теорему Х. Деланжа.
Ключевые слова
В данной работе рассмотрены проблемы, связанные с построением и исследованием ко- нусов и многогранников обобщенных метрических структур: конечных квазиполуметрик, которые являются несимметричными аналогами классических — симметричных — полу- метрик, и конечных �-полуметрик, которые являются многомерными аналогами класси- ческих — двумерных — полуметрик. Во введении рассмотрена история вопроса, приведены примеры использования метрик, квазиметрик и �-метрик в математике и ее приложениях, дан обзор основных идей и результатов, представленных в статье. В первом разделе даны определения рассматриваемых в работе обобщенных метриче- ских структур: конечных метрики и полуметрики, их ориентированных аналогов — ко- нечных квазиметрики и квазиполуметрики, и их многомерных аналогов - конечных �- метрики и �-полуметрики. Во втором разделе приведены классические примеры соответствующих обобщенных метрических структур. Именно, понятие метрики продемонстрировано на четырех базовых примерах (дискретная метрика — метрика Хаусдорфа - метрика симметрической разности — метрика пути связного графа). Для ориентированного случая представлены четыре со- ответствующих квазиметрики, в то время как для многомерного случая построены четыре соответствующих �-метрики. В третьем разделе рассмотрен интересный пример одного специального случая ква- зиметрики: среднее время первого прохода для цепей Маркова. В ходе анализа свойств указанной структуры продемонстрирована ее связь со взвешиваемыми квазиметриками и частичными метриками, а также с другими, достаточно экзотичными, метрическими объектами. В четвертом разделе введены понятия важнейших частных случаев полуметрики: раз- реза и мультиразреза. Построены их ориентированные и многомерные аналоги: ориенти- рованные разрезы и ориентированные мультиразрезы, а также �-полуметрики разбиений. В пятом разделе осуществлено построение конусов и многогранников рассмотренных обобщенных метрических структур. Рассмотрены метрический и разрезный конусы и мно- гогранники на конечном числе точек. Построены ориентированные и многомерные аналоги указанных конусов и многогранников. Выделены свойства, связывающие указанные клас- сы обобщенных дискретных метрических структур. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов. Представлены результаты вычислений, посвященных конусам полу- метрик, разрезов, квазиполуметрик, ориентированных разрезов, ориентировнных мульти- разрезов, �-полуметрик и �-полуметрик разбиений на малом числе вершин (на 3, 4, 5 и 6 точках). Указаны размерность объекта, число экстремальных лучей (вершин) и их орбит, число гиперграней и их орбит, диаметры скелетона и реберного графа. В заключении представлены выводы исследования.
Ключевые слова
В работе изучается произведение Эйлера вида ��(�, �(�)|�) = Π︁ �∈�(�) (︂ 1 − �(�) ��+�(�) )︂−1 , где � — произвольный моноид натуральных чисел, образованный множеством простых чисел �(�). Другим объектом изучения является ряд Дирихле вида ��(�|�) = Σ︁ �∈� 1 ��+�(�) . Оказывается, что они обладают совершенно разными свойствами. Ряд Дирихле ��(�|�) определяет голоморфную функцию на всей комплексной плоскости. А эйлерово произведение ��(�|�) для моноида �, у которого множество простых �(�) бесконечно, задает на всей комплексной плоскости мероморфную функцию, у ко- торой имеется счетное множество особых вертикальных прямых, на каждой из которых счетное множество полюсов. В заключении рассмотрена актуальная задача о нулях функции ��(�|�).
Ключевые слова
Гиперметрический конус был определен в [9] и был широко изучен Мишелем Дезой и его сотрудниками. Еще одним ключевым его интересом был отрезной и метрический многогранник, который он рассматривал в своих последних работах в случае графов. Здесь мы объединяем оба интереса, рассматривая гиперметрию на графах. Мы опре- деляем их для любого графа и даем алгоритм вычисления экстремальных лучей и граней гиперметрического конуса на графах. Мы вычисляем гиперметрический конус для первого нетривиального случая �7 − {�}. Мы также вычисляем гиперметрический конус в случае графов без �5 минора.
Ключевые слова
Для исследования арифметических свойств значений обобщенных гипергеометриче- ских функций с рациональными параметрами обычно применяют метод Зигеля. Этим ме- тодом были получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым свойствам. Основной недостаток метода Зигеля состоит в невозможности его применения к гипер- геометрическим функциям с иррациональными параметрами. В этой ситуации исследова- ние обычно основывается на эффективной конструкции функциональной приближающей формы (в методе Зигеля существование такой формы доказывается с помощью принципа Дирихле). Построение и исследование приближающей формы является первым шагом в сложном рассуждении, которое ведет к получению арифметического результата. Используя эффективный метод, мы сталкиваемся по крайней мере с двумя пробле- мами, которые в значительной степени сужают область его применимости. Во-первых, неизвестна более или менее общая конструкция приближающей формы для произведений гипергеометрических функций. Используя метод Зигеля, мы не имеем дела с такой пробле- мой. По этой причине приходится рассматривать лишь вопросы линейной независимости над тем или иным алгебраическим полем. Выбор этого поля является второй проблемой. Подавляющее большинство опубликованных результатов, относящихся к рассматриваемо- му кругу задач, имеет дело с мнимым квадратичным полем (или с полем рациональных чисел). Лишь в отдельных случаях удается провести соответствующее исследование для какого-либо другого алгебраического поля. Мы рассматриваем здесь случай вещественного квадратичного поля. С помощью специ- ального технического приема мы устанавливаем линейную независимость значений неко- торой гипергеометрической функции с иррациональным параметром над таким полем.
Ключевые слова
Эта статья связывает классификацию Курихары о полных дискретных оценочных по- лях и теории устранения дикого ветвления Эппа. Для любого полного дискретного поля оценки � с произвольным полем вычетов про- стой характеристики можно определить некоторый численный инвариант Γ(�), который лежит в основе классификации Курихары таких полей на 2 типа: поле � имеет тип I тогда и только тогда, когда Γ(�) положительно. Значение этого инварианта указывает, насколько далеко данное поле от стандартного, т. е. от поля, которое неразветвлено над его постоянным подполем �, которое является максимальным подполем с совершенным полем вычетов. (Стандартные 2-мерные локальные поля являются точными полями вида �{{�}}.) Мы доказываем (при некотором мягком ограничении на �), что для смешанного харак- теристического 2-мерного локального поля типа I � существует оценка снизу для [� : �], где �/� является расширением, таким что �� является стандартным полем (существую- щим из-за теории Epp); логарифм этой степени может быть оценен линейно в терминах Γ(�) с коэффициентом, зависящим только от ��/�.
Ключевые слова
Мы исследуем, когда сильно регулярный граф локально Хивуд. Мы фокусируемся на предполагаемом сильно регулярном графе с параметрами (�, �, �, �) = (85, 14, 3, 2), кото- рый является единственным кандидатом на такой график. Предполагая, что граф явля- ется локально Хивудом, мы анализируем его структуру, в конце концов приходя к про- тиворечию, которое позволяет нам заключить, что никакой сильно регулярный граф не является локально Хивудом.
Ключевые слова
Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на много- образиях в �-мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используюся тригонометрические суммы. Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многооб- разий Γ, dim Γ = �, �/2 < � < �. Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригоно- метрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры. Если � 6 �/2, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории. Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в 1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема — методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими систе- мами. В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофан- товых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.
Ключевые слова
Категория последовательностей � была введена в [1, 2, 3]. Объектами категории � явля- ются конечные последовательности вида �1, . . . , ��, где элементы �1, . . . , �� принадлежат конечно представимому модулю над кольцом полиадических чисел ̂︀ �. Кольцо полиадиче- ских чисел ̂︀ � = Π︀ � ̂︀ �� – это произведение колец целых �-адических чисел по всем простым числам �. Морфизмами категории � из объекта �1, . . . , �� в объект �1, . . . , �� являются все возможные пары (�, �), где � : ⟨�1, . . . , ��⟩ ̂︀� → ⟨�1, . . . , ��⟩ ̂︀� – гомоморфизм ̂︀ �-модулей, порожденных данными элементами, и � - целочисленная матрица размера � ×�, которые удовлетворяют следующему матричному равенству (��1, . . . , ���) = (�1, . . . , ��)�. В [2] доказано, что категория � эквивалентна категории � смешанных факторно дели- мых абелевых групп с отмеченными базисами. В [3] доказано, что категория � двойствен- на категории ℱ абелевых групп без кручения конечного ранга с отмеченными базисами, под базисом мы понимаем здесь любую максимальную линейно независимую систему эле- ментов. Композиция этой эквивалентности и двойственности является двойственностью, введенной в [1] и в [4], которую можно также рассматривать как версию двойственности, введенной в [5]. Если объект категории � состоит из одного элемента, то ему соответствуют группы ранга 1 в категориях � и ℱ. Этот случай разобран в [6]. При этом двойственность � ↔ ℱ дает нам классическое описание Р. Бэра [7] групп без кручения ранга 1. Эквивалентность � ↔ � согласуется с описанием О. И. Давыдовой [8] факторно делимых групп ранга 1. В настоящей статье мы рассматриваем другой вырожденный случай. Любая перио- дическая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом полиадических чисел. При этом периодическая группа является конечно представимым ̂︀ �-модулем тогда и только тогда, когда она конечна. Следовательно, для любой системы образующих �1, . . . , �� любой конечной абелевой группы � последовательность �1, . . . , �� является объектом ка- тегории �. Более того, такие объекты определяют полную подкатегорию категории �. В данной статье показано, что объекту �1, . . . , �� категории � соответствует в категории � факторно делимая группа вида � ⊕ �� с отмеченным базисом �1 + �1, . . . , �� + ��, где �1, . . . , �� – стандартный базис векторного пространства �� над полем рациональных чисел �. В категории ℱ данному объекту соответствует свободная группа �, удовлетворяющая условиям �� ⊂ � ⊂ �� и �/�� ∼= �*, где �* = ���(�, �/�) – дуальная группа. Мы также рассматриваем гомоморфизмы групп, соответствующие морфизмам категории �.
Ключевые слова
Мы изучаем поля реализации и целочисленность характеров дискретных и конечных подгрупп ��2(C) и связанные с ним решетки, а также целочисленность характеров конеч- ных групп �. Теория характеров конечных и бесконечных групп играет центральную роль в тео- рии групп, теории представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. Классические результаты связаны с некоторыми арифметическими задачами: описание целочисленых представлений существенно для конечных групп над кольцами целых чисел в числовых полях, локальных полях или, в более общем случае, для дедекиндовых колец. Существенная часть этой статьи посвящена следующему вопросу, восходящему к В. Бернсайду: каждое ли представление над числовым полем может быть сделано целочис- ленным. Всякое ли линейное представление � : � → ���(�) конечной группы � над число- вым полем �/Q сопряжено в ���(�) с представлением � : � → ���(��) над кольцом целых чисел �� поля �? Чтобы изучить этот вопрос, используется связь целочисленых представлений и решеток. Этот вопрос тесно связан с глобально неприводимыми представлениями; концепция, предложенная Дж. Томпсоном и Б. Гроссом, была изучена Фам Хыу Тиепом и обобщена Ф. Ван Ойстаеном и А. Е. Залесским, однако остается много открытых вопросов. Нас интересуют арифметические аспекты целочисленной реализуемости представле- ний конечных групп, и, в частности, рассматриваются условия реализуемости в терминах символов Гильберта и алгебр кватернионов.
Ключевые слова
В статье рассматривается система матричных уравнений Лурье. Такая система имеет прикладное значение при исследовании асимптотической устойчивости состояний равнове- сия системы дифференциальных уравнений, нахождении областей притяжения состояний равновесия, определения условий существования предельных циклов для систем диффе- ренциальных уравнений, исследовании глобальной устойчивости, скрытой синхронизации систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты. Известно, что условия раз- решимости матричных уравнений Лурье определяются «частотной теоремой Якубовича- Калмана». Для изучения нелинейных колебаний фазовых систем возникает необходимость нахождения решений матричных уравнений Лурье. В данной статье рассматривается случай, когда матричное неравенство Ляпунова, вхо- дящее в состав уравнений Лурье, имеет матрицу с действительными собственными значе- ниями, часть из которых могут быть нулевыми. Для такого случая получены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений Лурье и определен вид решений, что поз- воляет провести их спектральный анализ. Явный вид решений матричных уравнений дал возможность провести их геометрическую интерпретацию в зависимости от спектра, пока- зать взаимосвязь уравнения линейной связи с квадратичными формами решений уравне- ний Лурье. В основе метода анализа матричных уравнений лежит подход, базирующийся на использовании прямого произведения матриц и применении обобщенно обратных мат- риц для нахождения решений систем линейных уравнений. Результаты работы позволили исследовать систему трех матричных уравнений возникающую при изучении фазовых си- стем частотно-фазовой автоподстройки частоты.
Ключевые слова
Гиперграфическими автоматами называются автоматы, у которых множества состоя- ний и выходных символов наделены структурами гиперграфов, сохраняющимися функци- ями переходов и выходными функциями. Универсальные притягивающие объекты в ка- тегории таких автоматов называются универсальными гиперграфическими автоматами. Для таких автоматов полугруппы входных символов являются производными алгебрами отображений, свойства которых взаимосвязаны со свойствами алгебраических структур данных автоматов. Это позволяет изучать универсальные гиперграфические автоматы с помощью исследования их полугрупп входных символов. В работе исследуется проблема абстрактной определяемости таких автоматов их полугруппами входных символов, суть которой заключается в нахождении условий изоморфности полугрупп входных символов универсальных гиперграфических автоматов. Основной результат работы дает решение этой задачи для универсальных гиперграфических автоматов над эффективными гипер- графами с �−определимыми ребрами. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как он содержит, в частности, автоматы, у которых гиперграфы состояний и выходных символов являются плоскостями (например, проективными или аффинными), а также автоматы, у которых множества состояний и выходных символов разбиваются на классы некоторой эквивалентности без одноэлементных классов. В настоящей работе дока- зано, что универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с �−определимыми ребрами полностью (с точностью до изоморфизма) определяются сво- ими полугруппами входных символов, а также описано строение измоморфизмов таких автоматов.
Ключевые слова
Задача динамической геометрии расстояния (dynDGP) – это недавно введенный под- класс геометрии расстояния, где проблемы имеют динамическую составляющую. Графы � = (� × �,�, {�, �}) dynDGP имеют множество вершин, которое является произведением множества двух мно- жеств: множества � , содержащего объекты для анимации, и множества �, представляю- щего время. В этой статье основное внимание уделяется специальным экземплярам dynDGP, ко- торые используются для представления движения человека в проблеме адаптации, где множество � допускает скелетную структуру (�, �). "Расстояние взаимодействия" — это понятие введено в качестве возможной замены ев- клидова расстояния, которое способно улавливать информацию о представлении динамики задачи и некоторые начальные свойства этого нового расстояния.
Ключевые слова
В статье доказывается аналог теоремы Ф. Кубо [1] для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Первый раздел направлен на выяснение некоторых аспектов гомологического описания радикала Джекобсона. Доказана теоре- ма, обобщающая теорему Е. Маршалла на случай почти локально разрешимых алгебр Ли, следствием которой и является аналог теоремы Кубо. Во втором разделе исследуют- ся некоторые свойства локально нильпотентного радикала алгебры Ли. Рассматривают- ся примитивные алгебры Ли. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не являет- ся примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся прими- тивной. Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль ��- неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.
Ключевые слова
В данной работе рассматривается определение дифференцируемости и регулярности по Фютеру [1–2] и примеры регулярных по Фютеру функций, приводится и определение С-регулярности и С-производной или производной Куллена [3], на основе которой строится новая теория регулярных функций в [4], которая уже включает полиномы и сходящиеся ря- ды гиперкомплексной переменной как дифференцируемые функции. Затем предлагается новое определение дифференцируемости, имеющее классический вид, но со специфиче- ской сходимостью, которое позволяет доказать теоремы о дифференцируемости суммы и произведения дифференцируемых функций, о дифференцируемости “частного” дифферен- цируемых функций. Далее выводится производная степени и доказывается дифференци- руемость полиномов и степенных рядов, что позволяет строить обобщения элементарных функций для кватернионных аргументов. Приводится пример, показывающий, что без спе- цифической сходимости приведенное определение дифференцируемости теряет смысл. С помощью степенных рядов задаются функции, которые являются решениями дифферен- циальных уравнений с постоянными кватернионными коэффициентами. Рассматривается задача отыскания корней квадратного уравнения с кватернионными коэффициентами, ко- торая возникает при решении дифференциальных уравнений
Ключевые слова
В статье рассматривается задача об отражении и прохождении плоской звуковой волны через однородную упругую пластину с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, граничащую с вязкими жидкостями. Полагается, что законы неоднородности покрытия пластины описываются дифференцируемыми функциями. Распространение малых возмущений в вязкой жидкости в случае установившихся коле- баний описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца. Распространение упругих волн в однородной изотропной упругой пластине описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн. Колебания неоднородного изотропного упругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено аналитическое описание отраженного и прошедшего через пластину акусти- ческих полей. Представлены результаты численных расчетов зависимостей коэффициентов отраже- ния и прохождения продольных волн от угла падения плоской волны.
Ключевые слова
Приводится метод анализа пространственных полей напряжений и скоростей в про- цессах пластического течения, основанный на отображении зон текучести в девиаторном пространстве напряжений. В качестве поверхности нагружения принимается обобщенная функция текучести Мизеса, соответствующая многочисленным экспериментальным дан- ным. Показано, что обобщенная модель Мизеса является удобной для анализа процессов пространственной деформации с помощью специального изображающего параметрическо- го пространства. Численная реализация метода иллюстрируется на примере пластическо- го сжатия материала в условиях трехмерной деформации. Показано, что распределение напряжений и скоростей течения зависит от текущего соотношения размеров слоя при осаживании.
Ключевые слова
В статье найдена асимптотическая формула при � → ∞ для количества простых чисел � ≤ �, удовлетворяющих системе уравнений (︂ � + �� �� )︂ = ��, � = 1, . . . , �, где �1, . . . , �� — различные простые числа, �� может принимать лишь два значения +1 или −1, а натуральные числа �� принимают значения несравнимые между собой по модулям ��, � = 1, . . . , �, т.е. �� ̸≡ �� (mod ��), � = 1, . . . , �. Найденная асимптотика является нетривиальной при � = �1 . . . �� ≫ �1+�, причём количество � может расти как �(ln�). Здесь � > 0 — произвольная постоянная.
Ключевые слова
Пусть �2 := �2(�), � := {0 ≤ �, � ≤ 2�} – гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций �(�, �) в области � с конечной нормой ‖�‖2 := ‖�‖�2(�) := {︃ 1 4�2 ∫︁∫︁ (�) |�(�, �)|2���� }︃1/2 < ∞, а �(�,�) 2 (�) – класс функций � ∈ �2, у которых производные �(�,�) ∈ �(�), а �(�,�), �(�,�) (0 ≤ � ≤ � − 1, 0 ≤ � ≤ � − 1, �, � ≥ 2, �, � ∈ N), �(�,�) – кусочно-непрерывны и �(�,�) ∈ �2. В работе доказано, что для произвольной � ∈ �(�,�) 2 имеет место точное неравенство типа Колмогорова следующего вида ‖�(�−�,�−�)‖�2(�) ≤ ‖�‖��/�� �2(�) · ‖�(�,0)‖ (1−� � ) � � �2(�) · ‖�(0,�)‖ � � (1− � � ) �2(�) · ‖�(�,�)‖ (1−� � )(1− � � ) �2(�) . Найдено также точное неравенство типа Колмогорова для наилучших приближений E�−1,�−1(�(�−�,�−�))2 промежуточных производных �(�−�,�−�) функций � ∈ �(�,�) 2 триго- нометрическими “углами”, имеющее вид E�−1,�−1(�(�−�,�−�))2 ≤ ≤ (E�−1,�−1 (�)2)��/�� · (︂ E�−1,�−1 (︁ �(�,0) )︁ �2 )︂(1−� � ) � � · · (︁ E�−1,�−1 (︁ �(0,�) )︁ 2 )︁� � (1− � � ) · (︁ E�−1,�−1 (︁ �(�,�) )︁ 2 )︁(1−� � )(1− � � ) , и дано приложение к задаче об одновременном приближении функции и ее промежуточных производных в �2. Вычислены точные значения линейных и колмогоровских квазипопе- речников некоторых классов функций.
Ключевые слова
Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичной алгебраической ре- шётки целочисленной решёткой. В ней вычисляются расстояния между квадратичной ал- гебраической решёткой и целочисленной решёткой, когда они заданы числителем и зна- менателем подходящей дроби к корню квадратному из простого числа � вида � = 2 или � = 4� + 3. Результаты данной работы позволяют изучать вопросы о наилучших приближениях квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками.
Ключевые слова
В статье рассматриваются свойства лиувиллевых чисел в �-адической, �-адической и полиадической областях. Каноническое представление �-адического числа имеет вид ∞Σ︁ �=0 ����, �� ∈ {0, 1, . . . , � − 1}. Каноническое представление �-адического числа имеет вид ∞Σ︁ �=0 ����, �� ∈ {0, 1, . . . , � − 1}. Каноническое представление полиадического числа имеет вид ∞Σ︁ �=0 ���!, �� ∈ {0, 1, . . . , �}. Основная цель работы — получение оценок снизу норм в соответствующих областях от значений ненулевых многочленов с целыми коэффициентами, вычисленных при подста- новке вместо переменных рассматриваемых совокупностей, соответственно, �-адических, �-адических и полиадических лиувиллевых чисел. Тем самым, в случае полиадических чисел, доказывается их глобальная трансцендент- ность и глобальная алгебраическая независимость. Отметим, что в случае, когда оценивается обычная абсолютная величина значения мно- гочлена от совокупности действительных лиувиллевых чисел, основная трудность состоит в доказательстве отличия от нуля значения этого многочлена в приближающей точке. В настоящей работе, в случае �-адических? �-адических и полиадических чисел эту трудность удается обойти, используя известную алгебраическую лемму о величине корней многочлена. Кроме того, в работе известная теорема П. Эрдёша о представлении действительного числа суммой двух лиувиллевых чисел переносится на случаи �-адических, �-адических и полиадических чисел.
Ключевые слова
В статье рассказано об арифметических свойствах значений некоторых �–рядов. �–ряд – это ряд вида ∞Σ︁ �=0 �� · �! ��, коэффициенты �� которого принадлежат некоторому алгебраическому полю K конечной степени над полем Q. При этом наибольшая из абсолютных величин сопряженных с �� чи- сел не превосходит величину ��1�, � = 0, 1, . . .. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел �� = �0,���, � ∈ N, такая, что ���� ∈ ZK, � = 0, 1, . . ., � = 0, 1, . . . , �. При этом �0,� делится только на простые числа �, � 6 �2� и �����0,� 6 �3 (︂ log�� + � �2 )︂ . Устанавливается некоторая общая теорема, подобная теореме В.Х. Салихова для �– функций. Эта теорема дает условие алгебраической независимости над C(�) для �–рядов, каждый из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка. Приведем примеры применения этой общей теоремы к некоторым гипергеомет- рическим рядам. Полученные результаты позволяют применять общие теоремы В.Г. Чирского об ариф- метических свойствах значений �–рядов. В результате получено, что значения рассматриваемых рядов как в алгебраических точках, так и в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами, бесконечно алгебраически независимы. В работе также упомянуты некоторые приложения полиадических и почти полиадиче- ских чисел к ряду задач.
Ключевые слова
Рассматриваются только конечные группы. Пусть � — группа автоморфмизмов группы �, содержащая все внутренние автоморфизмы, и � — максимальный внутренний локаль- ных экран насыщенной формации F. �-композиционный фактор �/� группы � называ- ется �-F-центральным, если �/��(�/�) ∈ �(�) для всех � ∈ �(�/�). �-F-гиперцентром � называется наибольшая А-допустимая подгруппа �, все �-композиционные факторы ниже которой �-F-центральны. Обозначается ZF(�,�). Напомним, что группа � называется дисперсивной по Оре, если � имеет нормальную холлову {�1, . . . , ��}-подгруппу для 1 ≤ � ≤ �, где �1 > · · · > �� — все простые делите- ли |�|. Главным результатом работы является: Пусть F — наследственная насыщенная формация, � — её максимальный внутренний локальный экран и � — дисперсивная по Оре �-допустимая подгруппа группы �, где Inn� ≤ � ≤ Aut�. Тогда и только тогда � ≤ ZF(�,�), когда ��(�)/��(�) ∈ �(�) для любых силовской �-подгруппы � группы � и простого делителя � порядка �. В качестве следствий были получены известные результаты Р. Бэра о нормальных подгруппах в сверхразрешимом гиперцентре и элементах гиперцентра. Пусть � — группа. Напомним, что ��(�) = {� ∈ � | [�, �1, . . . , ��] = 1 ∀�1, . . . , �� ∈ Aut�} и � называется автонильпотентной, если � = ��(�) для некоторого натурального �. Из главного результата можно извлечь критерии автонильпотентности групп. В частности, группа � автонильпотентна тогда и только тогда, когда она является прямым произведе- нием своих силовских подгрупп и группа автоморфизмов любой силовской �-подгруппы группы � является �-группой для любого простого делителя � порядка �. Приведены примеры автонильпотентных групп нечетного порядка.
Ключевые слова
В работе продолжены исследования автора по оценки тригонометрических сумм алгеб- раической сетки с весами с простейшей весовой функцией второго порядка. Для параметра ⃗� тригонометрической суммы ��(�),⃗�1 (⃗�) выделены три случая. Если ⃗� принадлежит алгебраической решётке Λ(� · �(⃗�)), то справедлива асимптоти- ческая формула ��(�),⃗�1 (�(�, . . . ,�)) = 1 + � (︂ ln�−1 det Λ(�) (det Λ(�))2 )︂ . Если ⃗� не принадлежит алгебраической решётке Λ(� ·�(⃗�)), то определены два вектора ⃗�Λ(⃗�) = (�1, . . . , ��) и ⃗�Λ(⃗�) из условий ⃗�Λ(⃗�) ∈ Λ, ⃗� = ⃗�Λ(⃗�) + ⃗�Λ(⃗�) и произведение �(⃗�Λ(⃗�)) = �1 · . . . · �� минимально. Доказано асимптотическая оценка ��(�),⃗�1 (�(�, . . . ,�)) = 1 − �(⃗�Λ(⃗�)) �(⃗�Λ(⃗�))2 + � (︂ �(⃗�Λ(⃗�))2 ln�−1 det Λ(�) (det Λ(�))2 )︂ .
Ключевые слова
Внешние биллиарды были введены Б. Нойманном в 50-х годах ХХ века и стали популярны в 70-х благодаря Ю. Мозеру, который рассматривал внешний, или двойственный, биллиард как игрушечную модель небесной механики. Задача об устойчивости Солнечной системы обладает тем свойством, что "легко выписать n уравнений движения частиц, но сложно понять это движение интуитивно"; в связи с этим, Мозер предложил рассмот- реть ранее поставленную Б. Нойманном задачу внешнего биллиарда, обладающую тем же свойством. Одним из классических примеров динамической систем является внешний биллиард вне правильного �-угольника; в частности, с ним связаны проблемы существования апе- риодической траектории, а также полноты периодических точек. Эти проблемы решены лишь для ограниченного количества частных случаев. При � = 3, 4, 6 стол является решеточным, и, как следствие, апериодических точек нет, а периодические точки образуют множество полной меры. В 1993 году, С. Табачни- кову удалось найти апериодическую точку в случае правильного пятиугольника; сделано это было с помощью ренормализационной схемы - метода, имеющего фундаментальное значение при исследовании самоподобных динамических систем. По мнению Р. Шварца, следующими по сложности являются случаи n = 10,8,12; в этих случаях, а также в случае � = 5 для внешнего биллиарда удается построить ренормализа- ционную схему, которая, как пишет Шварц, “позволяет дать (как минимум, в принципе) полное описание того, что происходит”. Позже, автору удалось обнаружить самоподобные структуры и построить ренормали- зационную схему для случаев правильных восьми- и двенадцатиугольника. Данная же статья посвящена внешнему биллиарду вне правильного десятиугольника. Доказано существование апериодической орбиты для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника, а также, что почти все траектории такого внешнего биллиарда являются периодическими; явно выписаны все возможные периоды. В основе работы лежит клас- сическая технология поиска и исследования ренормализационной схемы. Возникающие в случае � = 10 периодические структуры похожи на периодические структуры в случае � = 5, но все же имеют свои особенности.
Ключевые слова
В исследовании рассматривается модель создания серии обучающих заданий, постро- енной с опорой на представления о трехкомпонентной структуре умственных действий (О-ориентировка, И-исполнение, К-контроль). С помощью задач динамического характе- ра, ориентированных на управление учебно-познавательной деятельностью обучающихся, в работе раскрывается один из возможных подходов к совместному изучению формул полной вероятности и Байеса. Отмечается, что для эффективности управления учебно- познавательной деятельностью обучающихся, осуществляется пооперационная обратная связь, переходящая в промежуточную обратную связь и связь по конечному результату. В статье подчеркивается, что оптимальность процесса формирования элементов иссле- довательской деятельности осуществляется за счет повышения эффективности усвоения его по времени. Последнее достигается за счет приемов совместного усвоения обучающи- мися учебного материала, связанного с усвоением, например, формул полной вероятности и Байеса. В этом же ракурсе отмечается, что целесообразно использовать этапы информационной технологии решении задач, а использование ИКТ как процесс формирования инструмента- рия в жизни и ИКТ-компетенций для профессиональной ориентации выпускника школы. В статье особо подчеркивается необходимость формирования ИКТ-компетенций учите- ля как требование федерального государственного образовательного стандарта в условиях в информационной образовательной среды, определены принципы построения методиче- ской системы формирования ИКТ-компетенций в рамках педагогических вузов через ре- шения задач с использованием компьютерных технологий.
Ключевые слова
Развитие техники выдвигает более сложные задачи, эффективное решение которых связано с уточнением математических моделей изучаемых процессов пластического фор- моизменения металлических систем (металлов, сталей, цветных сплавов) различных хими- ческих составов и технологий получения (традиционный слитковый передел, порошковое производство, наноструктурные материалы). Для построения решения используется инте- грирование дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы, происхо- дящие при пластическом течении или вариационный подход, основанный на построении исходного функционала, но в том и другом случае точность математического модели- рования процесса будет зависеть от принятой математической модели среды. В работе рассмотрены этапы развития различных моделей пластических сред, от простейшей жест- копластической модели, не учитывающей изменение свойств материала, к более сложным – вязко пластической модели, учитывающей появление вязкости при повышении температу- ры обработки и дилатирующей модели, которая позволяет учитывать изменение плотности материала и тем самым прогнозировать деформационное разрушение. Правильное исполь- зование математических моделей пластических сред дает возможность повысить точность расчета технологических режимов, сокращая тем самым время на освоение выпуска новой продукции и может быть применено для разработки технологических процессов получе- ния изделий методами аддитивных технологий на основе лазерного спекания и сплавления порошковых сплавов, технологий термопластической обработки и процессов упрочняющей химико-термической и термической обработок металлических систем различных химиче- ских составов.
Ключевые слова
В рамках проблемы становления науки Нового времени рассмотрен вопрос о мотивах перехода от аристотелевской физики к классической механике в XVII веке. В основу раз- личения этих двух форм естественнонаучного знания нами положено противопоставление идей: холизма, которым руководствовалось доклассическое естествознание, и редукциониз- ма, ставшего базисом классической механики Нового времени. Отмечен редукционистский характер постулатов, лежащих в основе закона о параболической траектории брошенно- го тела, с открытия которого начинается научная революция XVII века. В их числе – принцип равномерного инерциального движения в горизонтальном направлении (в отсут- ствии влияния силы тяжести), закон свободного падения в вертикальном направлении под действием силы тяжести и закон параллелограмма сил и движений. Показано, что в до- классической физике, в силу ее ориентации на холизм, ни один из этих постулатов не мог быть выполнен. Исходя из положения, что теоретические построения в области механи- ки движения вторичны по отношению к формам движения, реализуемым в практической механике, приведены аргументы в пользу тезиса о том, что холизм доклассической механи- ки связан с применением в качестве «двигателей» мускульной силы человека и животных. Показано, что именно использование одушевленных двигателей, характерное для антично- сти и средних веков, ведет к нарушению редукционистского принципа аддитивности сил, лежащего в основе классической механики. В заключение сделан вывод о том, что пред- посылками идеи редукции явились новые виды движения, реализованные в практической механике XV-XVI вв. Это – подъемные устройства, использующие в качестве движущей силы силу тяжести, и кривошипно-шатунные механизмы, снабженные маховыми колесами. Устройства первого типа подводили к идее аддитивности сил, а второго – к возможности реализации равномерного движения.
Ключевые слова
По мере своего развития математическое моделирование находит всё новые и новые области применения, оставаясь эффективным инструментом, в том числе, инженерной деятельности. Математические модели проходят путь эволюционного развития, повышая адекватность по соответствию реальным физическим процессам. Одно из актуальных на- правлений математического моделирования связано с развивающимся технологиями ад- дитивного прототипирования. Например, при изготовлении изделий из металлических по- рошков методами аддитивных технологий, в частности, селективного лазерного плавле- ния, одним из практических вопросов является подбор оптимальных параметров работы 3D- принтера. Решение задачи оптимизации х параметров работы 3D- принтера должно базироваться на математической модели процесса нагрева и расплавления частиц металла. В качестве базовой концепции моделирования использован подход, основанный на форми- ровании и решении уравнения теплопроводности с краевыми условиями, учитывающими сферическую форму частицы, распределение энергии в поперечном сечении лазерного пуч- ка и взаимное пространственное положение частицы и лазерного пучка. Отмечается, что для оценки структуры формируемых деталей подобный подход является избыточным, а алгоритм интегрирование уравнения в частных производных обладает высокой вычисли- тельной сложностью. Для упрощения задачи анализа исходная микромодель трансформи- рована в макромодели нагрева и расплавления, в которых распределение температуры по объему частицы считается постоянным, а внешнее воздействие на частицу сводится к пе- редаче тепла через поверхность шара, с верхней стороны - от лазерного луча к частице, а с нижней стороны - от частицы к окружающей среде. Для макромодели получены времен- ные диаграммы нарастания температуры и накопленной внутренней энергия частицы во времени. Сделан вывод о возможности разбиения пространства вокруг частицы на зоны: полного и неполного расплавления, а также зону нагрева, недостаточного для расплавле- ния. Показано, что наличие подобных зон приводит к рыхлости структуры формируемых на 3D-принтере деталей.
Ключевые слова
Дисциплина FIFO (First In First Out) обработки прерываний достаточно широко ис- пользуется в ЭВМ Фон Неймановского типа, применяемых в информационных и цифровых управляющих системах. Цель реализации подобного режима работы — оптимизация време- ни доступа к данным — достижима только при наличии адекватной модели, описывающей систему. Аналитическая модель построена с использованием фундаментального математи- ческого аппарата сетей Петри-Маркова. Первичная Петри-Марковская модель разделена на иерархические уровни, соответствующие количеству заявок на обработку прерываний в очереди. Показано, что с текущего уровня возможно переключение, как на предыду- щий, так и на последующий уровни прерываний. Получены зависимости для определения времени пребывания на текущем уровне и вероятностей переключения на сопряженные уровни. Предложен метод преобразования Петри-Марковской модели в полумарковский процесс. Показано, что структура подобного полумарковского процесса представляет со- бой бинарное дерево. Получены зависимости для определения временных и вероятностных характеристик блужданий по бинарному дереву.
Ключевые слова
В статье исследовано влияние структуры решетчатых конструкций на распростране- ние упругих волн в них. Постановка задачи сформулирована в рамках линейной теории упругости при малых деформациях. Для решения задачи использован метод конечных элементов, реализованный в пакете прочностного анализа Fidesys. Смоделированы различ- ные варианты плоских решетчатых структур: классическая решетка с прямолинейными прутьями и решетки с равномерно изогнутыми прутьями: лифтовая и звёздчато-круговая решетки. Исследована зависимость между структурой решетчатых конструкций и распро- странением возмущений в них. Выполнен анализ зависимости скорости распространения волн в изогнутых решетчатых конструкциях от частоты. Предложена прикладная концеп- туальная модель прибора, измеряющего частоты волн.
Ключевые слова
Развитие аддитивных технологий (3D-печати) сделало возможным изготовление де- талей и изделий регулярной пористой и ячеистой структуры (с целью облегчения кон- струкции). При этом характерный размер ячейки намного меньше масштаба целого из- делия. Численные прочностные и смежные с ними расчёты подобных конструкций тре- буют предварительной оценки эффективных характеристик такой ячеистой структуры. В данной статье представлена методика численной оценки эффективных упругих характе- ристик регулярных ячеистых структур, основанная на численном решении краевых задач теории упругости на ячейке периодичности. К ячейке последовательно прикладываются различные периодические граничные условия в виде связей, наложенных на перемещения противоположных граней ячейки. Для каждого вида граничных условий решается крае- вая задача теории упругости, полученное в результате решения которой поле напряжений осредняется по объёму. Эффективные свойства ячеистого материала оцениваются в виде обобщённого закона Гука. В работе рассматриваются композиционные материалы на основе жёсткого решётча- того каркаса, заполненного более мягким материалом. Расчёты проводятся методом ко- нечных элементов с помощью отечественной CAE-системы «Фидесис». При этом в ряде расчётов для моделирования решётчатого каркаса используются конечные элементы ба- лочного типа. В некоторых расчётах, помимо каркаса и матрицы, учитывается наличие тонкого слоя связующего между ними. Этот слой моделируется при помощи конечных элементов оболочечного типа. Приводятся графики сравнения результатов расчётов композиционных материалов с решётчатым каркасом с моделированием каркаса балочными элементами и результатов аналогичных расчётов, в которых каркас моделируется трёхмерными конечными элемен- тами. Также приводятся графики сравнения результатов расчётов, в которых слой свя- зующего моделируется оболочечными элементами, с результатами аналогичных расчётов, в которых связующее моделируется трёхмерными элементами. Графики показывают, что при достаточно тонких элементах каркаса (либо при достаточно тонком слое связующего) результаты получаются довольно близкими, что подтверждает применимость балочных и оболочечных элементов для численного решения таких задач.
Ключевые слова
Необратимые изменения объема материала, называемые дилатансией, возникают во многих технологических процессах. Она проявляется в порошковых и пористых метал- лах, грунтах и горных породах, бетонах, металлических сплавах различного химического состава и других материалах. Кроме того, в условиях пластической деформации происхо- дит необратимое изменение объема деформируемого материала – его пластическая дила- тансия, которая является основным физическим механизмом повреждаемости различных металлических систем (металлов, сталей, цветных сплавов) при их больших пластических деформациях. В связи с этим возникает необходимость учета необратимого изменения объ- ема материала при расчетах многих технологических процессов, например, прессования порошковых металлических материалов, обработки давлением и резанием пористых ме- таллов и металлических сплавов. При составлении основных математических соотношений для теоретического описания изменения объема используются различные математические модели пластической дилатансии: дискретные модели, континуальные модели, в том числе и стохастические, которые описывают поведение дилатирующих материалов, как подвер- гающихся преимущественному уплотнению, так и разрыхлению. Для построения условий текучести, используемых в расчете дилатирующих сред, необходимо определение мате- риальных математических функций для конкретных процессов и материалов. В работе рассмотрены основные условия текучести и методы их построения, которые используются в расчетах процессов пластической обработки порошковых и слитковых металлических материалов в различных условиях и состояниях.
Ключевые слова
Самая большая, но не единственная, европейская мистификация, связанная с историей китайской астрономии, произошла в XVII веке. Согласно китайским источникам, астроно- мия ведёт своё начало от середины третьего тысячелетия до н.э. Достоверность источников дискуссионна. В 213–212 гг. до н.э. император Цинь Шихуанди приказал уничтожить все рукописи, кроме дворцовых хроник и книг практического назначения. На рубеже II и I вв. до н.э. историограф Сыма Цянь написал грандиозное сочинение «Исторические записки» – основной исторический документ, подлинность которого признана большинством исто- риков. В этом сочинении изложены древние предания и хроника событий с VIII в. до н.э. Долгое время Китай был закрыт для европейцев, первая популярная книга о Китае при- надленит Марко Поло. В XVII–XVIII вв. н.э. в Китае пребывала миссия иезуитов. Иезуиты пробыли в Китае 190 лет, в составе миссии было 36 астрономов, которые своими отчётами создали у европейцев представление о древности китайской астрономии. Последующее об- суждение европейских учёных поставило это под сомнение. С XVII в Китае присутствовала православная миссия, с XIX в. была представлена Петербургская Академия наук, создана русская обсерватория. Китаеведение (синология) возникло благодаря деятельности раз- личных миссий, из среды миссонеров вышло немало глубоких исследователей. Среди них были и замечательныен русские синологи. Работы исследователей XIX и XX века продол- жают споры об аутентичности древних источников. Сейчас в историографии обозначились две тенденции, расходящиеся во мнениях по поводу подлинности древнекитайской астро- номии. Мы рассмотрим историю этой дискуссии и основные аргументы сторон, включая работы П. С. Лапласа, К. А. Скачкова, Г. Н. Попова, А. В. Маракуева, Дж. Нидэма, Н. Сивина, Э. И. Берёзкиной, Чен-Йи Чена, В. Е. Еремеева.
Ключевые слова
-
Ключевые слова
-
Ключевые слова
-
Ключевые слова
-